Ray-Sphere Intersection
已知球体的球心位置是$(C_x, C_y, C_z)$ ，那么球体的数学公式表达如下：
$$(x-C_x)^2+(y-C_y)^2+(z-C_z)^2=r^2$$
在图形中，我们总是想将数学公式用$vector$来进行表示，因此，这里我们可以将$x/y/z$用一个$vec3$来表示，并且球心$\mathbf{C}=(C_x, C_y, C_z)$到一个点$\mathbf{P}=(x, y,z)$的距离是$\mathbf{(P-C)}$，因此，上述公式可以转换为如下形式：
$$\mathbf{(P-C)\centerdot (P-C)} = (x-C_x)^2+(y-C_y)^2+(z-C_z)^2=r^2$$
对于一根光线，在数学上可以这样表示：$\mathbf{P}(t)=\mathbf{A}+t\mathbf{b}$ ，其中$\mathbf{A}$表示光线原点，$\mathbf{b}$是光线的单位方向向量，$t$是光线的长度。如果光线射中了球体，那么将满足如下条件：
$$(\mathbf{P}(t)-\mathbf{C})\centerdot (\mathbf{P}(t)-\mathbf{C})=r^2$$
即：
$$(\mathbf{A}+t\mathbf{b}-\mathbf{C})\centerdot (\mathbf{A}+t\mathbf{b}-\mathbf{C})=r^2$$
继续展开可以得到如下结果：
$$t^2\mathbf{b}\centerdot \mathbf{b}+2t\mathbf{b}\centerdot(\mathbf{A-C})+(\mathbf{A-C})\centerdot(\mathbf{A-C})-r^2=0$$
上述等式是一个关于$t$的二元一次方程，要判断光线是否与球体有交点，只要判断该方程是否有解即可。根据二元一次方程求根公式，我们可以判断是否满足如下条件：
$$\triangle=b^2-4ac>0$$
其中，$a=\mathbf{b\centerdot b}$，$b=2\mathbf{b\centerdot (A-C)}$ ，$c=\mathbf{(A-C)\centerdot (A-C)}-r^2$
Diffuse Materials
一般而言，材质需要和几何体强绑定在一起，这样才能获得对几何体的最终着色结果，为了能够将材质复用到不同的几何体，这里需要将材质类单独实现。
不发光的漫反射物体只是呈现出周围环境的颜色，并且它们也会用自己固有的颜色来调节这种颜色。从漫反射表面反射的光的方向是随机的，所以，如果我们向两个扩散表面之间的裂缝发送三束射线，它们将有不同的随机行为:
实际上，任何随机方向的算法都会产生看起来哑光的表面（漫反射结果）。其中一个最简单的方法被证明是完全正确的理想扩散表面。(我曾经把它当作一种懒惰的hack，近似于数学上理想的Lambertian。)
有两个单位半径的球体，与曲面的命中点$p$相切。这两个球体的中心分别是$(𝐏+𝐧)$和$(𝐏−𝐧)$，其中$𝐧$是表面的法线。以$(𝐏-𝐧)$为中心的球体被认为是曲面内部，而以$(𝐏+𝐧)$为中心的球体被认为是曲面外部。选择与射线原点在同一面上的切线单位半径球，在这个单位半径球内选择一个随机点$𝐒$，并从命中点$𝐏$发送一条射线到随机点$𝐒$(这是矢量$(𝐒−𝐏)$)，由此可以产生一条随机方向的反射方向，从而模拟出漫反射结果:
我们需要一种在单位半径球中随机选取一点的方法，这里将使用使用通常最简单的算法:拒绝方法。首先，在单位立方体中选择一个$x$、$y$和$z$都在−1到1范围内的随机点。如果这个点在球面外，那么就拒绝这个点，再试一次，直到这个点在球面内，需要注意的是这个过程是递归的，我们需要设置一个最大的递归深度来避免栈溢出。
漫反射的球体看起来应该不是暗黑色的(在现实生活中，浅灰色)。原因是几乎所有的图像查看器都假设图像是“gamma校正”的，这意味着0到1的值在被存储为字节之前进行了一些转换。这有很多很好的理由，但为了我们的目的，我们只需要意识到这一点。对于第一个近似，我们可以使用“gamma 2”，这意味着将颜色提升到$\frac{1}{𝑔𝑎𝑚𝑚𝑎}$的幂，或者在我们简单的情况下的$\frac{1}{2}$，也就是平方根。
$Lambertian$分布是一种用$cos(\phi)$来描述射线与法线夹角大小的分布，当射线越靠近法线时，发生漫反射的概率就越大，这种情况更符合正态分布。这是通过选取单位球体表面上的随机点来实现的，沿着表面法线偏移。选取单位球上的随机点，然后进行归一化可以实现对单位球体表面上选取随机点。
Metal Materials
对于我们已经有的$Lambertian$(diffuse)情况，它可以一直散射，并通过其反射率$𝑅$衰减，或者它可以散射而没有衰减，但吸收$1 -𝑅$的射线，或者它可以是这些情况的混合。请注意，我们也可以只以某种概率$𝑝$进行散射，并将衰减设为$𝑎𝑙𝑏𝑒𝑑𝑜/𝑝$。
对于光滑的金属，射线不会随意发生散射。关键的一个数学问题是:光线如何从金属镜面中进行反射？我们可以通过向量来进行描述：
上图中红色的反射射线方向就是$𝐯+2𝐛$。在我们的设计中，$𝐧$是单位向量，但$𝐯$可能不是。$𝐛$的长度应该是$𝐯\cdot𝐧$。因为$𝐯$指向内部，我们需要一个负号，即红色的反射射线的计算结果为：$v-2*dot(v, n)*n$。
我们还可以通过使用一个小球体来随机反射方向，并为射线选择一个新的端点:
球体越大，反射就越模糊。这意味着需要添加一个模糊参数，这个参数就是球体的半径(因此零是没有扰动)。问题是，对于大球体或射线，可能会分散在表面以下，让表面吸收它们：
Dielectrics Materials
透明的材料，如水、玻璃和钻石都是介质。当光线击中它们时，它会分裂成反射光线和折射(透射)光线。我们将通过随机选择反射或折射来处理这个问题，并且每次相互作用只生成一个散射射线。
最难调试的部分是折射光线，通常情况下，如果有折射光线的话，首先要让所有的光线都折射。对于这个项目，我尝试在我们的场景中放置两个玻璃球，我得到了这个(我还没有告诉你如何正确或错误地这样做，但很快!):
上面的结果对吗？玻璃球在现实生活中看起来很奇怪。但是不，这是不对的。世界应该被颠倒过来，没有奇怪的黑色东西。我只是打印出了穿过图像中间的光线，这显然是错误的
通常会用$Snell’s law$（斯涅尔定律）描述折射:
$$\eta \cdot \sin\theta = \eta’ \cdot \sin\theta’$$
其中$\theta$和$\theta’$是射线与法线的角度，$\eta$和$\eta’$是折射率(通常是空气= 1.0，玻璃= 1.3-1.7，钻石= 2.4)。几何形状是:
为了确定折射光线的方向，我们必须求解$\sin\theta’$:
$$\sin\theta’ = \frac{\eta}{\eta’} \cdot \sin\theta$$
在表面的折射一侧有一条折射光线$\mathbf{R’}$和一条法线$\mathbf{n’}$，它们之间存在一个角度$𝜃’$。我们可以将$\mathbf{R’}$分割成垂直于$\mathbf{n’}$和平行于$\mathbf{n’}$的射线部分：
$$\mathbf{R}’ = \mathbf{R}’_\bot + \mathbf{R’}_\parallel$$
求解$\mathbf{R’}_\bot$和$\mathbf{R’}_\parallel$就得到：
$$\mathbf{R’}_\bot = \frac{\eta}{\eta’} (\mathbf{R} + \cos\theta \mathbf{n})$$
$$\mathbf{R’}_\parallel = -\sqrt{1 - {|\mathbf{R’}_\bot|}^2} \mathbf{n}$$
一个麻烦的实际问题是，当光线处于折射率较高的材料中时，斯涅尔定律没有真正的解，因此不可能发生折射。如果我们回顾斯内尔定律和罪的推导$\sin\theta’$：
$$\sin\theta’ = \frac{\eta}{\eta’} \cdot \sin\theta$$
如果光线在玻璃内部，外面是空气(${\eta}=1.5$，${\eta’} =1.0$)：
$$\sin\theta’ = \frac{1.5}{1.0} \cdot \sin\theta$$
$\sin\theta’$的值不能大于1。所以，如果，
$$\frac{1.5}{1.0} \cdot \sin\theta > 1.0$$
两边的等式就被打破了，解就不存在了。如果溶液不存在，玻璃就不能折射，因此必须反射光线，对这种情况进行判断分别处理。
在这里，所有的光都被反射了，因为实际上光通常是在固体内部的，所以被称为“全内反射”。这就是为什么当你在水下时，水-空气边界有时就像一面完美的镜子。
我们可以用三角函数性质来解$\sin\theta$：
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$$
并且，其中$\cos\theta = \mathbf{R} \cdot \mathbf{n}$。
真正的玻璃的反射率随角度的变化而变化，比如以一个较大的倾斜角度去看一扇的窗户时，它就会变成一面镜子。这有一个丑陋的大方程，但几乎每个人都使用克里斯托弗·施里克(Christophe Schlick)的廉价而精确的多项式来进行近似。
电介质球的一个有趣而简单的技巧是，如果你使用负半径，几何形状不受影响，但表面法线将指向内部。这可以作为一个气泡，一个中空的玻璃球:
常见数值运算
1、当$x\in[-1,1]$ 的时候，我们需要将其范围转换为$[0,1]$时，可以进行如下转换：
$$x=(x+1)/2$$
2、抗锯齿解决思路：在对一个像素进行着色时，可以增加采样次数，然后对累积的采样结果求平均，即可获得一个抗锯齿的效果。
3、线性插值：
$$\text{blendedValue} = (1-t)\cdot\text{startValue} + t\cdot\text{endValue}$$